Daudzi studenti, kuri vecākajos gados studē augstāko matemātiku, droši vien brīnījās: kur praksē tiek izmantoti diferenciālvienādojumi (DE)? Parasti šis jautājums lekcijās netiek apspriests, un pasniedzēji nekavējoties pāriet pie DE risināšanas, nepaskaidrojot studentiem diferenciālo vienādojumu piemērošanu reālajā dzīvē. Mēs centīsimies aizpildīt šo plaisu.
Sāksim ar diferenciālvienādojuma noteikšanu. Tātad diferenciālvienādojums ir vienādojums, kas savieno funkcijas atvasinājuma vērtību ar pašu funkciju, neatkarīgā mainīgā lielumiem un dažiem skaitļiem (parametriem).
Visizplatītākā diferenciālvienādojumu piemērošanas joma ir dabas parādību matemātiskais apraksts. Tos izmanto arī problēmu risināšanā, kur nav iespējams noteikt tiešu saistību starp dažām procesu raksturojošām vērtībām. Šādas problēmas rodas bioloģijā, fizikā, ekonomikā.
Bioloģijā:
Pirmais nozīmīgais matemātiskais modelis, kas raksturo bioloģiskās kopienas, bija Lotka-Volterra modelis. Tajā aprakstīta divu mijiedarbojošos sugu populācija. Pirmais no tiem, saukts par plēsējiem, otrā trūkuma gadījumā mirst saskaņā ar likumu x ′ = –ax (a> 0), bet otrais - laupījums - plēsēju prombūtnes laikā bezgalīgi vairojas saskaņā ar likumu no Malthus. Šo divu veidu mijiedarbība tiek modelēta šādi. Upuri mirst ar ātrumu, kas vienāds ar plēsēju un medījumu sastapšanās skaitu, kas šajā modelī tiek pieņemts kā proporcionāls abu populāciju lielumam, t.i., vienāds ar dxy (d> 0). Tāpēc y ′ = by - dxy. Plēsēji vairojas ar ātrumu, kas proporcionāls apēstā laupījuma skaitam: x ′ = –ax + cxy (c> 0). Vienādojumu sistēma
x ′ = –ax + cxy, (1)
y '= pēc - dxy, (2)
plēsējs-laupījums, kas raksturo šādu populāciju, tiek saukts par Lotka-Volterra sistēmu (vai modeli).
Fizikā:
Ņūtona otro likumu var uzrakstīt diferenciālvienādojuma formā
m ((d ^ 2) x) / (dt ^ 2) = F (x, t), kur m ir ķermeņa masa, x ir tā koordināta, F (x, t) ir spēks, kas uz ķermeni iedarbojas ar koordinātu x laikā t. Tās risinājums ir ķermeņa trajektorija noteiktā spēka iedarbībā.
Ekonomikā:
Izlaides dabiskās izaugsmes modelis
Mēs pieņemsim, ka daži produkti tiek pārdoti par fiksētu cenu P. Ļaujiet Q (t) apzīmēt pārdoto produktu daudzumu laikā t; tad šajā brīdī ienākumi ir vienādi ar PQ (t). Ļaujiet daļu no norādītajiem ienākumiem tērēt ieguldījumiem pārdotās produkcijas ražošanā, t.i.
I (t) = mPQ (t), (1)
kur m ir ieguldījumu likme - nemainīgs skaitlis un 0
